当x→0时，函数e^(sinx)-e^x是几阶无穷小？

e^(sinx)－e^x＝e^x×[e^(sinx-x)－1].

x→0时，e^x→1，e^(sinx-x)－1等价于sinx－x.

使用泰勒公式，sinx－x＝(x－x^3/3!＋〇(x^3))－x＝－1/6×x^3＋〇(x^3)

所以，x→0时，e^(sinx)－e^x 与 x^3 同阶，所以x→0时，e^(sinx)－e^x 是 x 的3阶无穷小.

就是求lim(x趋近0) {[e^x+sinx－1]/x}
可以用洛必达法则。
对{[e^x+sinx－1]/x}的分子分母分别求导，得到 {[e^x+cosx]}/1
当x趋近0时，得1+1=2，所以无穷小e^x+sinx－1关于基本无穷小x的阶数就是同阶无穷小量。

sinx在x=0处泰勒展开：sinx=x-(x^3)/3!+o(x^3)
e^x在x=0处泰勒展开：1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+o(x^3)
e^(sinx)-e^x
=(e^x)(e^(sinx-x)-1)
=(e^x){e^【(x^3)/3!+o(x^3)】-1}
=(e^x){1+(x^3)/3!+o(x^3)-1}
=【(x^3)/3!+o(x^3)】(e^x) 从这里已经可以直接写答案3阶了
如果你还不放心 下面有证明：
x趋近0时lim【(x^3)/3!+o(x^3)】(e^x)/x^3=3!=6
因此是3阶